Другие новости от posic.livejournal.com
Реклама на проекте
Ко-контра соответствие для локально нетеровых абелевых категорий
Sunday, 01 March, 22:03,
posic.livejournal.com
Заметим, что группы морфизмов в полной подкатегории в A, объектами которой являются прямые суммы копий J, вычисляются по формуле HomA(J(X),J(Y)) = projlimB HomA (B(X),J(Y)) = ∏X projlimB ∐Y HomA(B,J) для любых двух множеств X и Y, где B пробегает нетеровы подобъекты в J. В то же время, группы морфизмов в категории свободных левых Rop-контрамодулей вычисляются по формуле HomRop(Rop[[X]],Rop[[Y]]) = ∏X Rop[[Y]] = ∏X projlimIop ∐Y Rop/Iop[Y], где Iop пробегает открытые правые идеалы в Rop. Поскольку R/I = HomA(B,J) для I = Ann B ⊂ R, мы, в сущности, показали, что полная подкатегория прямых сумм копий объекта J в A эквивалентна полной подкатегории свободных контрамодулей в Rop-contra.
Добавляя прямые слагаемые, мы убеждаемся, что аддитивная категория инъективных объектов в A эквивалентна аддитивной категории проективных объектов в Rop-contra. Наконец, ясно, что бесконечные прямые суммы в этой категории сохраняются функторами вложения в категорию A (которая, напомним, предполагается локально нетеровой) и в Rop-contra, и что в ней есть бесконечные произведения, сохраняемые функтором вложения в A. Покажем, что бесконечные произведения в категории проективных Rop-контрамодулей (которые там существуют, поскольку они существуют в категории инъективных объектов в A) являются одновременно их бесконечными произведениями в объемлющей абелевой категории Rop-contra.
На самом деле, это верно в любой точной категории с достаточным количеством проективных объектов. Достаточно представить произвольный Rop-контрамодуль P в виде коядра морфизма проективных Rop-контрамодулей E' → E'' и посчитать Hom из Р каждый объект семейства проективных Rop-контрамодулей Fα и в их произведение, вычисленное в категории проективных Rop-контрамодулей, как ядро морфизма групп Hom из объектов E'' и E'.
Мы всегда знали, что копроизводная Dco(A) эквивалентна гомотопической категории комплексов инъективных объектов Hot(Ainj); из результата последних двух абзацев следует также, что контрапроизводная категория Dctr(Rop-contra) эквивалентна гомотопической категории комплексов проективных контрамодулей Hot(Rop-contraproj). Таким образом, построена эквивалентность триангулированных категорий
Dco(A) = Dctr(Rop-contra),
доставляющая собой обещанное производное ко-контра соответствие для любой локально нетеровой абелевой категории A. Единственное, чего здесь ощутимо недостает -- это какого-нибудь (по возможности, прямого) доказательства того, что абелева категория Rop-модулей не зависит от выбора инъективного объекта J в абелевой категории A, удовлетворяющего сформулированному в начале условию.
Впрочем, не вполне прямое доказательство этого несложно: вообще, абелева категория с достаточным количеством проективных объектов однозначно категорией своих проективных объектов определяется. (Предположить две такие абелевы категории; продолжить отождествление подкатегорий проективных объектов до точных справа функторов в обе стороны между ними; отметить, что обе композиции изоморфны тождественным функторам.)
Теперь, кстати, можно принять за A категорию квазикогерентных пучков кручения на инд-нетеровой инд-схеме и вернуться к сюжету старых постингов http://posic.livejournal.com/365249.html и http://posic.livejournal.com/445085.html ...
Комментарии (0)