26

Года с 2007 меня преследовал навязчивый кошмар: меня просят дать определение алгебры Вирасоро.

Вот оно. Алгеброй Вирасоро называется алгебра Ли с (топологическим, если быть точным, но сейчас речь не o том) базисом L_n, где n пробегает множество всех целых чисел Z, и еще одним базисным вектором C, и со скобкой, задаваемой правилами

[L_i,C] = 0 для всех i;
[L_i,L_j] = (j−i)L_i+j + (i³−i)/12 δ_i,−j C.

Что же в этом ужасного? Всего лишь знак. Плюс или минус. Символ Кронекера δ_i,−j указывает на то, что второе слагаемое во второй формуле может быть ненулевым только при i = −j. Что же должно быть написано в предшествующей скобке, (i³−i) или (j³−j) ?

Знак коэффициента (j−i) перед первым слагаемым меня не смущал. Во-первых, я помнил наизусть со студенческих лет, что там j−i, а не i−j. Во-вторых, этот знак не имеет значения, поскольку меняется на противоположный переобозначением L_n → −L_n. В третьих, факторизуя по одномерной абелевой подалгебре, натянутой на центральный элемент C, алгебра Вирасоро превращается в алгебру векторных полей на формальной окружности, и базисные вектора L_n соответствуют векторным полям zⁿ⁺¹d/dz. Сосчитать коммутатор [zⁱ⁺¹d/dz, z^j+1d/dz] и получить коэффициент j−i я завсегда могу; а на худой конец, всегда можно переобозначить через L_n векторные поля −zⁿ⁺¹d/dz, разницы-то никакой.

С коэффициентом перед центральным элементом C дело гораздо серьезнее. Конечно, знак его меняется на противоположный переобозначением C → −C. Штука в том, что зафиксировав все-таки коэффициент при C в формуле для коммутатора, численные значения скалярных операторов, которыми действует C в некоторых представлениях Вирасоро, становятся мировыми константами. Это называется "центральный заряд", или "уровень" -- бывают представления Вирасоро на уровне 1, например, и т.д. И есть мировая константа критический уровень, равная 26. А вовсе не −26, например.

Которое число 26, конечно, производит очень эффектное впечатление, будучи неожиданно написанным на доске посреди нагромождения абстракций, типа моих бесчисленных полуалгебр, контрамодулей, полупроизводных категорий и далее везде. Закавыка в том, что могут все-таки попросить объяснить, что конкретно равно двадцати шести.

Разумеется, константно здесь не столько целое число 26, сколько все выражение во втором слагаемом второй формулы после подстановки 26 на место переменной C. Мировой константой является выражение

26(i³−i)/12 δ_i,−j,

где (i,j) -- пара целых чисел (записанных именно в таком порядке).

Например, почему, собственно, в знаменателе стоит 12? Можно сократить 26/12, получив 13/6, что выглядит уже несколько менее внушительно (хотя по-прежнему нетривиально). Отметим, что все значения многочлена i³−i = (i−1)i(i+1) при целых i являются целыми числами, делящимися на шесть -- но не на двенадцать! Шестерка в знаменателе выглядит более естественной нормировкой.

Приглядевшись внимательнее, можно заметить, что произведение (i−1)i(i+1) делится на четыре (а следовательно, и на 12) при всех нечетных i, а также при i, делящихся на четыре. Из двенадцати возможных остатков, которые дает i при делении на 12, только для трех -- 2, 6 и 10 -- значение выражения (i³−i)/12 оказывается полуцелым; для остальных девяти остатков это целое число. Можно считать это умеренно приемлемым аргументом в пользу того, чтобы писать 12 в знаменателе -- а следовательно, и сакраментальные 26 в числителе.

Однако, как бы ни обстояло дело с интересными двузначными натуральными числами, а знаки мировых констант полагается помнить. Я не запомнил со студенческой скамьи, i³ там стоит или j³, и понимал, что будучи спрошен про нормировку центрального заряда в Вирасоро, по-честному должен был бы отвечать, что не уверен в знаке. В иной обстановке оно и ничего, но в некоторых случаях как-то несолидно.

Казалось бы, что может быть проще: ну, не запомнил когда-то, так погляди теперь в какой-нибудь источник и запомни. Но в какой источник? Проблема в том, что в литературе в этом месте полный разнобой.

Википедическая статья дает (в наших обозначениях выше) формулу с i³−i, но Википедии в таких делах доверия немного -- ср. историю с когерентным слева кольцом и плоскими правыми модулями (http://mathoverflow.net/questions/7279/ (комменты), http://posic.livejournal.com/367032.html ), где очевидная ошибка лево-право провисела больше двух лет, пока я ее не исправил.

Алгебра Вирасоро, конечно, гораздо популярнее когерентных колец, и история правки соответствующей википедической статьи очень длинная. Случайное тыкание в нее наводит на мысль, что соответствующий фрагмент оставался неизменным со дня появления первой версии в 2003 году и посейчас. Не знаю, должно ли это свидетельствовать в пользу надежности или ненадежности приводимых там знаков.

(Продолжение следует.)